狭义相对论膨胀和收缩是怎样发生的

tuenhai.com 20180117

相对论空间、时间概念定义

tuenhai.com :在讨论相对论效应时经常用到时间膨胀,时间收缩,空间膨胀,空间收缩,有必要先定义一下这些概念

  • 空间膨胀:完成一个事件所经历的的空间距离增大,整体表现为物体运动方向长度变长
  • 空间收缩:完成一个事件所经历的的空间距离减小,整体表现为物体运动方向长度变短
  • 钟时膨胀:空间膨胀以后,速度不变,需要用掉更多时间完成一个事件,又叫钟时变慢
  • 钟时收缩:空间膨胀以后,速度不变,需要用掉更少时间完成一个事件,又叫钟时变快
  • 命时膨胀:空间收缩以后,需要跨过更少空间就能完成一个事件,又叫命时变慢,表现为寿命延长
  • 命时收缩:空间膨胀以后,需要跨过更多空间才能完成一个事件,又叫命时变快,表现为寿命缩短

事件:举例,光子钟,光子上或下跳动一次的距离一样,跳动方向和物体运动方向垂直,光子上或下一次就是一个事件

更多时间 里的 时间 是什么时间:这是同一个观测者的时间感觉,既是他的钟时,也是他的命时。静止者钟慢,从钟时的角度说,钟跳一次包含了更多的钟时,相当于把钟拨慢了;从命时角度说,一次事件用掉了更多的命时,所以静止者寿命缩短了

狭义相对论效应结论

tuenhai.com :有了明确的时间、空间定义以后,下面就可以直接给出结论了

  • 静止者钟时膨胀(钟时变慢)
  • 静止者命时收缩(寿短)
  • 静止者空间膨胀(运动方向变长)
  • 运动者钟时收缩(命时变快)
  • 运动者命时膨胀(寿长)
  • 运动者空间收缩(运动方向变短)

从以上结论可以总结出二条狭义相对论效应规律:

  • 空间膨胀和钟时膨胀成正比
  • 空间膨胀和命时膨胀成反比

静止者钟时是怎样膨胀的

tuenhai.com :下面我们从数学计算的角度理解一下静止者钟时膨胀是怎样发生的

光子钟计算静止者钟时膨胀

上图,勾股定理计算静止者钟时膨胀效应 (图片出处 《时间的形状》一书《时间会膨胀》一节)

图片上有两个飞船,第一个飞船表示飞船原先的位置,第二个飞船表示飞船现在的位置,飞船上放了个大大的光子钟,一个光子在钟里面上下跳动

在飞船上的运动者看来,光子只是上下垂直跳动,距离很短,用的时间很少。在地面的静止者看来,光子一出发,还没有到达镜子的时候,同时在随着飞船向前飞行,于是光子走了一条长长的斜线,距离变长,于是光子花了更大时间到达镜子

静止者看到的是静止者钟,运动者看到的是运动者钟。我们已经知道静止者钟时变慢,但是静止者钟跳一次到底有多慢?这就要用数学公式计算了

喜欢数学公式的人恐怕不多,因为太抽象,而人是形象(画面)的自动计算机,于是对人来说抽象的数学就会很枯燥。不过,若是能从数学角度理解相对论效应,那么你的理解就会更加深刻。好在这里只是用到了初中数学,难度并不大

图中有个三角形,三角形的斜边是静止者钟光子走过的距离,垂直镜子的直角边是运动者钟光子走过的距离,水平直角边是飞船水平方向飞过的距离。每条边中间标注了一些奇怪的字符,我来解释一下:

  • c :光速,每秒约 30 万公里
  • v :飞船速度。为什么用字母v, 因 velocity 在英语中就是速度,于是你顺便学了个英语单词
  • t :运动者钟跳一次的时间。为什么用字母 t ?因为 英语中 time 就是时间的意思
  • t' :静止者看到的飞船飞行的时间,也是静止者钟跳一次的时间。为什么 t 后面加个小不点?你可以解释成静止者钟拖了个小尾巴,导致运动不起来,于是只能静止,这样就把枯燥的字母形象化了,有助于你记住公式

长度 = 速度 × 时间,三角形的三条边都是 速度 × 时间 的格式来表示的,不过把两个字母中间的 × 省略掉了,数学家嫌每次写乘号太麻烦了。现在你们理解了三条边中间写的字符的含义了吗:

  • ct :运动者钟一次跳动走过的距离
  • ct' :静止者钟一次跳动走过的距离
  • vt' : 飞船水平方向飞过的距离

计算这三个距离的关系,就要用到勾股定理,勾股定理应该小学就学过了,即使忘记了,稍微复习一下应该就能想起来。好吧, tuenhai.com 直接告诉懒得查书的部分同学吧,勾股定理说的是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方,写成公式是这样

(ct)²+(vt')² = (ct')²

去掉括号得到:

c²t² + v²t'² = c²t'²

等号两边同时减去 v²t'² 得到:

c²t² = c²t'² - v²t'²

等号两边同时除以 c² 得到:

t² = t'² - t'²(v²/c²)

最后得到静止者钟时膨胀公式:

狭义相对论静止者时间膨胀公式

上图,狭义相对论静止者钟时膨胀公式

你不妨把数字代入计算一下,当物体运动速度 v 很小的时候,公式右边的分母近似 1,所以静止者时间膨胀极其有限。当速度 v 无限接近光速的时候,公式右边分母的值就无限小,于是静止者钟时就膨胀到运动者钟时的无数倍了

要注意的是,是静止者钟时膨胀了,你在地面观测,你是静止者,你的钟时膨胀了。不懂相对论的人会说:

我都没动,我的钟时怎么就膨胀了

他不知道数据反映的是比例,静止者和运动者相比较,是运动者的钟时收缩了。静止者钟时膨胀了10倍,意思是运动者钟时收缩了10倍

Don: tuenhai.com 老师,静止者钟时膨胀我已经懂了,空间膨胀和钟时膨胀同步,那么静止者空间也应该膨胀了,这又怎么理解呢

静止者空间是怎样膨胀的

tuenhai.com :运动者看到光子上下走的是垂直线,于是垂直线就是光子的空间

在静止者看来,光子走的是向前和(上或下)结合起来形成的斜线。光子垂直方向走的的距离没变,和运动者看到的距离一样,这就是静止者垂直方向的空间没有变化。光子同时向飞船飞行方向水平走了一段距离,这段距离在运动者的空间里是没有,于是这段空间就是静止者膨胀出来的空间

静止者空间膨胀了多少,并不是去量这段空间的绝对长度是几米。量出飞船向前飞行了 1000 公里,就认为静止者空间膨胀了 1000 公里,这样无疑是错误的,这时没有了比较对象,只有一个观测者,那就不是相对论了

数据反映的是比例,我们要知道的是静止者和运动者相比较,空间膨胀了多少的系数

Don:那么怎样计算静止者空间膨胀的系数

tuenhai.com :我们已经得到了静止者钟时膨胀计算公式。公式左边是静止者的钟时t',也就是飞船飞行的时间。把公式两边乘上飞船速度 v,飞船飞行速度乘上飞船飞行时间,不就是飞船飞行距离吗!这段距离就是静止者向飞船飞行方向膨胀出来的空间

Don:数学上来说,等式两边乘上同样的数字,对于公式求解来说是没有意义的

tuenhai.com :所以就没有必要在公式两边同时乘上飞船速度了。静止者钟时膨胀公式就是静止者空间膨胀公式,两者完全相同,于是就得到静止者空间膨胀公式:

狭义相对论静止者空间膨胀公式

上图,狭义相对论静止者空间膨胀公式

运动者在运动方向上空间收缩

tuenhai.com :静止者空间膨胀是有方向性的,是向运动方向上膨胀。飞船速度十分接近光速时,静止者看到运动者做的每个动作都在向飞船运动方向上慢了许多,因为运动方向上空间膨胀了,静止者以为运动者的每个动作都要向运动方向上跨越更多的空间,于是看上去动作速度就慢了,不过这只是一个方向的动作变慢,大家能想象出来吗

Don:我想象一下,静止者看到运动者抬起手,在手上升过程中,手随着飞船快速前飞,于是在静止者看来,手运行的距离极大拉长,速度 = 距离 ÷ 时间,计算出来在飞船飞行方向上手的上抬速度极慢

静止者空间膨胀了,运动者在飞船上,可以认为并不知飞船是静止还是在运动,所以他不应该知道空间膨胀了,但是相对于静止者,运动者的空间在运动方向上收缩了

运动者并不知道空间收缩吗

tuenhai.com :运动者还是会知道自己的空间收缩了。宇宙有个奇怪的特性,整体的空间收缩会投影到物体的每个部分,每个原子之间的空间,原子各个组成部分的空间,反正所有的空间都在运动方向上收缩了

飞船在运动,飞船运动方向上的空间收缩表现为长度的缩短,飞船里的一切都随飞船运动同方向空间收缩

Don:原来是这样,在这种情况下,在飞船里的我能看到自己在飞船运动方向上明显收缩了吗

tuenhai.com :我问你,把你的前胸压到后背,你自己能不能看到

Don:我当然能看到

tuenhai.com :空间收缩不是幻觉,是真实发生的

Don:可能我又被一些文章论误导了,书上说用来测量的尺也缩短了,于是测不出来空间收缩了

tuenhai.com :物体在运动方向上收缩,尺子和物体运动方向平行去量,那么尺子的收缩程度和物体是一样的,于是尺子上就不能测量出物体收缩了

然而我们这里说的是明显的空间收缩效应,这时肉眼就可以分辨出来了,根本不用拿尺子去测量。你拿一根棒子,棒子和飞船飞行方向平行,你会看到棒子短了。你再把棒子和飞船飞行方向垂直放,你发现棒子扁了

Don:我想到了测试空间收缩的一个办法,我可以带些碗上飞船,碗口本来是圆的,我在飞船上转动碗,就应该能发现碗总是在运动方向上扁了。如果是我自己呢,岂不是在运动方向上变形,天哪,如果我去照镜子,会不会把自己吓死。我拍一张照片发到朋友圈,是不是会把朋友们吓坏……

静止者能不能看到运动者已经收缩

Don:我在飞船上,在运动方向上我收缩了,那么地面的静止者能否看到我收缩了

tuenhai.com :这要从三个方向分析

  • 如果运动者没有在运动方向上收缩

    这时静止者看到的是运动者在运动方向上膨胀了。比如你在飞船上面朝飞船前进方向站着,这时静止者看到你的前胸和后背的距离变大了。如果静止者的空间膨胀了5倍,那么静止者看到你前胸和后背的距离变得很大,会把胆小的偷看的静止者吓得半死

  • 事实上运动者在运动方向上收缩了

    Don: tuenhai.com 老师,我懂了,让我来分析一下好不好。如果静止者的空间膨胀了5倍,也就是我在飞船上,运动方向上收缩到原来的 1/5,这是我的实际情况。静止者必然会膨胀空间,于是他把我在运动方向上已经收缩的身体又膨胀到实际的5倍,他把我在运动方向上的收缩还原了

    这么奇怪,难道静止者看到了没有在运动方向上收缩的我吗

    tuenhai.com :是啊,你的身体在运动方向上收缩了,但是静止者看到的却是你并没有收缩

  • 静止者的视觉畸变

    如果静止者不改变自己的运动状态来到飞船里观看,这时运动者看到自己在运动方向上收缩了,但是静止者却看到运动者一切正常

    静止者在地面遥视速度接近光速的飞船,由于飞船速度太快,飞船距离太远,静止者看到的和实际的会有少许不一样,比如视觉上产生红移或者蓝移,这不是我们关注的重点,不再展开

运动者命时收缩有方向性

Don:从前面的狭义相对论效应结论可以知道,静止者空间膨胀的同时,必然会伴随着命时收缩。请教老师,静止者的空间膨胀有方向性,那么静止者命时收缩也有方向性吗

静止者空间膨胀,也就静止者命时收缩,空间膨胀的方向就是命时收缩的方向,这是从静止者的角度述说。如果从运动者的方向述说,运动者在空间运动方向上命时膨胀了,也就是时间流逝变慢,变得更年轻。运动者在运动方向上老得更慢

Don:运动者能不能自己发现在空间运动方向上老得更慢

tuenhai.com :如果一个人在飞船上方向不变长时间枯坐,那么有可能观察出来自己哪个方向上老得更快,哪个方向老得更慢

但是人是活动的,而且人是立体的,不是只有一个方向,一个方向上时间流逝得慢会同时影响到其他方向的时间,于是就不能轻易发现自己哪个方向上老得更慢

物理规律不变吗

tuenhai.com :物理学认为在任何惯性系中,物理规律保持不变。你在一个地方做物理实验,你不能通过实验的就去测出这个地方是静止的还是在匀速运动,如果是在匀速运动,那么你也不能通过实验测出在这个地方在向哪个方向运动

然而,物体运动接近光速,狭义相对论效应明显时,你是可以测出物体是静止还是运动,并且可以测出物体在向哪个方向运动。实际上不用做物理实验,你看一眼就知道了

物体飞行速度接近光速时,物体在运动方向上就会有明显的空间收缩和命时膨胀,于是飞船上的人就可以利用空间或命时的方向性看出物体在向哪个方向运动
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